Пря­мо­уголь­ник AABB яв­ля­ет­ся осе­вым се­че­ни­ем ци­лин­дра. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке AAB ги­по­те­ну­за AB равна 10 см, синус угла ABA равен Най­дем длину ка­те­та AA₁:

Таким об­ра­зом, вы­со­та ци­лин­дра равна 6 см. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке AA₁B:

Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ци­лин­дра равен по­ло­ви­не ка­те­та AB, то есть 4 см. Вы­чис­лим объем ци­лин­дра:

Ответ: см³.

Пря­мо­уголь­ник AA₁BB₁ яв­ля­ет­ся осе­вым се­че­ни­ем ци­лин­дра. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке AAB ги­по­те­ну­за A₁B равна 13 см, ко­си­нус угла A₁BA равен Най­дем длину ка­те­та AB:

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке AA₁B:

Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ци­лин­дра равен по­ло­ви­не ка­те­та AB, то есть 6 см. Вы­чис­лим объем ци­лин­дра:

Ответ: см³.

Ос­но­ва­ние ко­ну­са впи­са­но в ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды, а вер­ши­ны ко­ну­са и пи­ра­ми­ды сов­па­да­ют. Так как пи­ра­ми­да пра­виль­ная, то ABCD  — квад­рат. Тогда SO  — вы­со­та пи­ра­ми­ды и ко­ну­са, O  — центр впи­сан­ной в квад­рат ABCD окруж­но­сти. Зна­чит, тогда SM  — об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са. Угол SMO  =  α  — угол на­кло­на об­ра­зу­ю­щей. Из рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка DSA: Тогда из тре­уголь­ни­ка SOM имеем:

От­сю­да ис­ко­мый угол Тогда из тре­уголь­ни­ка SOM вы­со­та ко­ну­са

Объём ко­ну­са найдём по фор­му­ле

Ответ:

Тре­уголь­ник ACK  — се­ку­щая плос­кость приз­мы ABCA₁B₁C₁. По­стро­им угол между пря­мой BB₁ и плос­ко­стью ACK. В рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­дем вы­со­ту, она будет и ме­ди­а­ной и бис­сек­три­сой. За­ме­тим, что пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки AKB и BKC равны по двум ка­те­там, зна­чит, AK  =  KC и тре­уголь­ник AKC  — рав­но­бед­рен­ный. Ме­ди­а­на KМ яв­ля­ет­ся вы­со­той, от­ку­да по при­зна­ку пер­пен­ди­ку­ляр­но­сти пря­мая AC пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти KMB. В тре­уголь­ни­ке KMB про­ве­дем вы­со­ту BL. По­сколь­ку пря­мая AC пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти KMB, то она пер­пен­ди­ку­ляр­на любой пря­мой в этой плос­ко­сти, то есть По­сколь­ку пря­мая BL пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой AC и пря­мой MK, то она пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти AKC. Зна­чит, пря­мая KM  — про­ек­ция пря­мой BB₁ на плос­кость AKC, сле­до­ва­тель­но, угол MKB  — это угол между пря­мой BB₁ и плос­ко­стью се­че­ния.

В рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке ABC най­дем сто­ро­ну ос­но­ва­ния:

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке CKM по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем:

Таким об­ра­зом, зна­че­ние вы­ра­же­ния равно

Ответ: 49.

Тре­уголь­ник ACK  — се­ку­щая плос­кость приз­мы ABCA₁B₁C₁. По­стро­им угол между пря­мой BB₁ и плос­ко­стью ACK. В рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­дем вы­со­ту, она будет и ме­ди­а­ной и бис­сек­три­сой. За­ме­тим, что пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки AKB и BKC равны по двум ка­те­там, зна­чит, AK  =  KC и тре­уголь­ник AKC  — рав­но­бед­рен­ный. Ме­ди­а­на KМ яв­ля­ет­ся вы­со­той, от­ку­да по при­зна­ку пер­пен­ди­ку­ляр­но­сти пря­мая AC пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти KMB. В тре­уголь­ни­ке KMB про­ве­дем вы­со­ту BL. По­сколь­ку пря­мая AC пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти KMB, то она пер­пен­ди­ку­ляр­на любой пря­мой в этой плос­ко­сти, то есть По­сколь­ку пря­мая BL пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой AC и пря­мой MK, то она пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти AKC. Зна­чит, пря­мая KM  — про­ек­ция пря­мой BB₁ на плос­кость AKC, сле­до­ва­тель­но, угол MKB  — это угол между пря­мой BB₁ и плос­ко­стью се­че­ния.

В рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке ABC най­дем сто­ро­ну ос­но­ва­ния:

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке CKM по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем:

Таким об­ра­зом, зна­че­ние вы­ра­же­ния равно

Ответ: 18.

Углом между пря­мой и плос­ко­стью яв­ля­ет­ся угол между пря­мой и ее про­ек­ци­ей на эту плос­кость. Пря­мая KO пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ABC, сле­до­ва­тель­но, пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мым, ле­жа­щим в дан­ной плос­ко­сти: OA, OB и OC. Углом между пря­мой KC и плос­ко­стью ABC яв­ля­ет­ся угол KCO. Со­глас­но усло­вию, от­рез­ки AK, BK и CK равны, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки AOK, BOK и COK равны по ка­те­ту и ги­по­те­ну­зе (KO  — общий катет). Из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков сле­ду­ет ра­вен­ство от­рез­ков OA, OB и OC. Так как длина AB равна сумме длин рав­ных от­рез­ков OA и OB, длины этих от­рез­ков равны 6 см. Най­дем ко­си­нус угла KCO:

от­ку­да

Ответ:

Углом между пря­мой и плос­ко­стью яв­ля­ет­ся угол между пря­мой и ее про­ек­ци­ей на эту плос­кость. Пря­мая KO пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ABC, сле­до­ва­тель­но, пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мым, ле­жа­щим в дан­ной плос­ко­сти: OA, OB и OC. Углом между пря­мой KC и плос­ко­стью ABC яв­ля­ет­ся угол KCO. Со­глас­но усло­вию, от­рез­ки AK, BK и CK равны, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки AOK, BOK и COK равны по ка­те­ту и ги­по­те­ну­зе (KO  — общий катет). Из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков сле­ду­ет ра­вен­ство от­рез­ков OA, OB и OC. Так как длина AB равна сумме длин рав­ных от­рез­ков OA и OB, длины этих от­рез­ков равны 4 см. Най­дем ко­си­нус угла KCO:

от­ку­да

Ответ: